旷雨阳 刘太河 （贵州省安顺学院数理学院 安顺 561000）
1、 引言
自二十世纪六十年代以来，分布参数系统的控制问题一直是控制理论界所关注的核心论题之一，其应用背景很强，理论上也日渐成熟和丰富，由抛物型偏微分方程所描述的控制系统，按照现代控制理论观点[1]，它是分布参数系统的一个重要组成部分，并在现代工程中有着重要作用，对其研究不仅对数学理论提出更多的挑战，而且也能进一步加深对控制理论的认识。本文研究由Maxwell方程与抛物型偏微分方程所组成的耦合系统的最优控制解的存在性问题，从而所得到的结果可以加深对分布参数系统的认识。
2、预备知识
定义1：如果 到它的第二共轭空间 的自然映射T是满射，则称 是自反的，记作
定义2：设 是一个线性赋范空间， ，称 弱收敛到 ，记作 ，是指：对于任意线性有界泛函 都有： ，这时 称作点列 的弱极限。
定理3（紧嵌入定理）：设 为一有界区域， ，
(i)若 满足一致内锥条件，则当 时下列嵌入是紧的：
；
(ii)若 适当光滑，则当 时下列嵌入是紧的：
3、 假设条件：
H(3.1)： (1) 设函数 在关于时间变量 可微且存在常数 使得
(2) 向量值函数 满足 。
(3)
(4) 设
（其中 ；
；
都为Banach空间）
H(3.2) (1) ；
(2) 函数 关于 和 连续，且存在正常数 和 ，使得：
成立。
(3) 对任意 的 有：
成立
注意到，在假设(H3.2)中的(3)式，当 不依赖于 ,或
时成立。
4、最优控制存在性证明：
令控制集：
定理5.2：若假设(H3.1)和(H3.2)满足，则存在 ，使得对 ，有： 。
证明：首先我们可以容易证明在满足假设(H3.1)和(H3.2)下，则对 ，问题(1.1)—(1.4)存在唯一解 ，且 ，（其中
， ，其中 为 关于 的广义导数，在 中范数为： ， 且 为自反和可分的Banach空间）。
其次若 ，则 都是问题的解，即都是最优控制。故不妨设， ，根据 的定义，显然， 。因此由下确界的定义存在一个非负正常数 ，使得： ，根据下确界的定义，存在系列 ，使得： ， 由于对任意的 和 ，有 成立。故对任意的 ， 是 中的有界数列，则存在收敛子列，不妨仍记为 ，和 使得，当 时，有： 成立。因为 ，根据极限保号性，可得： ，显然 ，因此 。
记 是系统(1.1)—(1.4)对应 的解，则：
(4.1)
为了计算简便，我们可以做一变换，令， ，则在边界可设： ，故这里我们仅考虑： 情形。
我们易证上述偏微分方程系统(4.1)存在解 使得： ，且 ，其中常数 。
又根据空间 ， ， 的自反性知，存在 ， ，当 时有：
中，
中，
中。
下面我们证明： ，由方程（4.1），可得：
（4.2）
由于对任意的 ，有： 成立，故当 时，有：
在 成立。进而，
。
由弱收敛性得： 中，于是，当 时，我们得到： ，进而，当 时，我们又得到： ，又 是紧嵌入，且在 中有： ，故 中，于是，当 时，有： 。且注意到：
因此，当 时，有： ，即 。
在表达式(4.2)中两边取极限得： ，
于是， 。
由于 中成立，且 关于 是正定的，从而
，得：
代入方程(4.1)，从而 就满足下列微分方程：
这就意味着 是系统(1.1)—(1.4)对应 的解。
由于：
(4.3)
因此， 存在。
对任意 ，定义： 。
由， ，得：
由于， 中，于是可得：
，
即， ，代入(4.3)式得：
因此， ，即， ，这就证明了 是最优控制。
【参考文献】
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